Kalkulus 1

Definisi 2.2.1.

Untuk fungsi $f$ dan $g$, operasi $f+g$, $f-g$, $f.g$, dan $f/g$ didefinisikan dengan \begin{align*} (f+g)(x)&=f(x)+g(x),\\ (f-g)(x)&=f(x)-g(x),\\ (f.g)(x)&=f(x).g(x),\text{ dan}\\ (f/g)(x)&=\frac{f(x)}{g(x)} \text{ dengan } g(x)\neq 0.\\ \end{align*} Domain fungsi-fungsi $f+g$, $f-g$, dan $f.g$ didefinisikan sebagai irisan dari domain $f$ dan $g$, atau $$\mathcal{D}(f+g)=\mathcal{D}(f-g)=\mathcal{D}(f.g)=\mathcal{D}(f)\cap\mathcal{D}(g).$$ Sedangkan domain untuk $f/g$ adalah irisan domain $f$ dan $g$ kecuali nilai $x$ yang menyebabkan $g(x)=0$, atau bisa dituliskan $$\mathcal{D}(f/g)=(\mathcal{D}(f)\cap\mathcal{D}(g))\backslash \{x|g(x)=0\}$$

Definisi 2.2.2.

Komposisi fungsi $f$ dengan fungsi $g$ , ditulis $f\circ g$, adalah sebuah fungsi yang didefinisikan dengan $$(f\circ g)(x)=f(g(x)).$$ Domain dari $f\circ g$ terdiri dari semua $x$ dalam domain $g(x)$ dimana $g(x)$ dalam domain $f$, atau dapat dituliskan $$\mathcal{D}(f\circ g)=\{x\in \mathcal{D}(g)|g(x)\in\mathcal{D}(f)\}.$$

Contoh 1

Diberikan $f(x)=x^2$ dan $g(x)=\sqrt{x-1}$. Dapatkan rumus dari $(f-g)(x)$, $(f/g)(x)$, dan $(g\circ f)(x)$ beserta domainnya.

Pembahasan

Diketahui $f(x)=x^2$ dan $g(x)=\sqrt{x-1}$. Fungsi $f(x)$ terdefinisi untuk semua bilangan real dan $g(x)$ sebagai fungsi yang dalam bentuk akar akan terdefinisi ketika ekspresi di dalam akar bernilai tak negatif. \begin{align*} x-1\geq 0\\ x\geq1 \end{align*} Dengan demikian, diperoleh domain dari $f$ dan $g$ adalah sebagai berikut. $$\mathcal{D}(f)=\{x|x\in\R\}=(-\infty,+\infty)$$ $$\mathcal{D}(g)=\{x|x\geq1,x\in\R\}=[1,+\infty)$$ Selanjutnya, akan dicari $(f-g)(x)$ beserta domainnya. $$(f-g)(x)=f(x)-g(x)=x^2-\sqrt{x-1}$$ $$\mathcal{D}(f-g)=\mathcal{D}(f)\cap\mathcal{D}(g)=\{x|x\geq1,x\in\R\}=[1,+\infty)$$ Untuk $(f/g)(x)$, berikut adalah fungsi serta domainnya. $$(f/g)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^2}{\sqrt{x-1}}$$ \begin{align*} \mathcal{D}(f/g)&=(\mathcal{D}(f)\cap\mathcal{D}(g))\backslash \{x|g(x)=0\}\\ &=(\mathcal{D}(f)\cap\mathcal{D}(g))\backslash \{x|\sqrt{x-1}=0\}\\ &=(\mathcal{D}(f)\cap\mathcal{D}(g))\backslash \{x|x-1=0\}\\ &=\{x|x\geq1,x\in\R\}\backslash \{x|x=1\}\\ &=\{x|x>1,x\in\R\}\\ &=(1,+\infty) \end{align*} Terakhir, fungsi dan domain dari $(g\circ f)(x)$. $$(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2)=\sqrt{x^2-1}$$ Untuk mendapatkan domain dari $(g\circ f)(x)$, digunakan konsep berikut. \begin{align*} \mathcal{D}(g\circ f)&=\{x\in \mathcal{D}(f)|f(x)\in\mathcal{D}(g)\}\\ &=\{x\in\R|f(x)\geq1\}\\ &=\{x\in\R|x^2\geq1\}\\ &=\{x\in\R|x^2-1\geq0\}\\ &=\{x\in\R|(x+1)(x-1)\geq0\} \end{align*} Dari $(x+1)(x-1)\geq0$, diperoleh $2$ titik pemisah, yaitu $x=-1$ dan $x=1$. Dengan uji titik pada garis bilangan, diketahui interval yang menghasilkan nilai $(x+1)(x-1)\geq0$ adalah $(-\infty,-1]$ dan $[1,+\infty)$. Domain $g\circ f$ adalah $$\mathcal{D}(g\circ f)=\{x\in\R|x\leq-1\cup x\geq 1\}=\{x|x\leq-1\cup x\geq 1,x\in\R\}=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty).$$

Contoh 2 (ETS 2021)

Diberikan suatu fungsi $f(x)=\sqrt{2x-4}$ dan $f(g(x))=2x-3$.

Tentukan fungsi $g(x)$
Dapatkan domain dan range dari $f(g(x))$

Pembahasan

Diketahui fungsi $f(x)=\sqrt{2x-4}$ dan $f(g(x))=2x-3$. Akan dicari fungsi $g(x)$. \begin{align*} f(g(x))&=2x-3\\ \sqrt{2g(x)-4}&=2x-3\\ 2g(x)-4&=(2x-3)^2\\ 2g(x)&=4x^2-12x+9+4\\ g(x)&=\frac{4x^2-12x+13}{2} \end{align*}
Untuk mendapatkan domain $f(g(x))$, perlu diketahui terlebih dahulu domain dari fungsi $f$ dan $g$. Fungsi $g(x)$ sebagai polinomial terdefinisi untuk semua bilangan real dan $f(x)$ sebagai fungsi yang mengandung bentuk akar akan terdefinisi ketika ekspresi di dalam akar bernilai tak negatif. \begin{align*} 2x-4\geq 0\\ 2x\geq4\\ x\geq2 \end{align*} Dengan demikian, domain dari fungsi $f$ dan $g$ adalah $$\mathcal{D}(f)=\{x|x\geq2,x\in\R\}=[2,+\infty)$$ $$\mathcal{D}(g)=\{x|x\in\R\}=(-\infty,+\infty)$$ Domain dari $f(g(x))$ akan dicari dengan konsep berikut. \begin{align*} \mathcal{D}(f\circ g)&=\{x\in \mathcal{D}(g)\,|\,g(x)\in\mathcal{D}(f)\}\\ &=\{x\in\R\,|\,g(x)\geq2\}\\ &=\left\{x\in\R\,\left|\,\frac{4x^2-12x+13}{2}\geq2\right.\right\}\\ &=\{x\in\R\,|\,4x^2-12x+13\geq4\}\\ &=\{x\in\R\,|\,4x^2-12x+13-4\geq0\}\\ &=\{x\in\R\,|\,4x^2-12x+9\geq0\}\\ &=\{x\in\R\,|\,(2x-3)^2\geq0\} \end{align*} Perhatikan bahwa semua bilangan real $x$ menghasilkan $(2x-3)^2\geq0$ sehingga domain dari $f(g(x))$ adalah $$\mathcal{D}(f\circ g)=\{x|x\in\,|\,R\}=(-\infty,+\infty).$$ Domain dari $f(g(x))$ adalah semua bilangan real $x$ sehingga ketika bilangan-bilangan tersebut disubstitusikan ke $f(g(x))=2x-3$, hasilnya adalah sebarang bilangan real $x$. Dengan demikian, range dari fungsi $f(g(x))$ adalah $$\mathcal{R}(f\circ g)=\{y|y\in\R\}.$$

Contoh 3 (ETS 2021)

Diberikan fungsi $f(x)=\sqrt{x-1}$ dan $g(x)=x+2$ pada interval $1\leq x \leq 5$. Dapatkan fungsi komposisi $f(g(x))$ beserta domainnya.

Pembahasan

Diketahui fungsi $f(x)=\sqrt{x-1}$ dan $g(x)=x+2$ pada interval $1\leq x \leq 5$. Pertama-tama, akan dicari fungsi $f(g(x))$. $$f(g(x))=f(x+2)=\sqrt{x+2-1}=\sqrt{x+1}$$ Adapun untuk mendapatkan domain $f(g(x))$, perlu diketahui terlebih dahulu domain dari fungsi $f$ dan $g$. Fungsi $g(x)$ sebagai polinomial terdefinisi untuk semua bilangan real dan $f(x)$ sebagai fungsi yang mengandung bentuk akar akan terdefinisi ketika ekspresi di dalam akar bernilai tak negatif. \begin{align*} x-1\geq 0\\ x\geq1 \end{align*} Ingat bahwa fungsi diberikan pada interval $1\leq x \leq 5$ sehingga domain dari fungsi $f$ dan $g$ adalah $$\mathcal{D}(f)=\{x|x\geq1,x\in\R\}=[1,+\infty)\longrightarrow\mathcal{D}(f)=\{x|1\leq x\leq5,x\in\R\}=[1,5]$$ $$\mathcal{D}(g)=\{x|x\in\R\}=(-\infty,+\infty)\longrightarrow\mathcal{D}(g)=\{x|1\leq x\leq5,x\in\R\}=[1,5]$$ Domain dari $f(g(x))$ akan dicari dengan konsep berikut. \begin{align*} \mathcal{D}(f\circ g)&=\{x\in \mathcal{D}(g)|g(x)\in\mathcal{D}(f)\}\\ &=\{1\leq x\leq5|1\leq g(x)\leq5\}\\ &=\{1\leq x\leq5|1\leq x+2\leq5\}\\ &=\{1\leq x\leq5|1-2\leq x\leq5-2\}\\ &=\{1\leq x\leq5|-1\leq x\leq3\}\\ &=\{1\leq x\leq3,x\in\R\}\\ &=[1,3] \end{align*}

Latihan!

ETS 2021/2022

Diberikan suatu fungsi $f(x)=\sqrt{x^2-1}$ dan $g(x)=\dfrac{2}{x}$. Dapatkan fungsi $(f.g)(x)$ beserta domainnya.

Jawab:

ETS 2023/2024

Diberikan fungsi $f(x)=|x^2-1|$ dan $\displaystyle g(x)=\frac{1}{x^2-9}$. Dapatkan $(g\circ f)(x)$ beserta domainnya.

Jawab:

Lihat Solusi

Diketahui fungsi $f(x)=|x^2-1|$ dan $\displaystyle g(x)=\frac{1}{x^2-9}$. Pertama-tama, akan dicari fungsi $(g\circ f)(x)$. \begin{align*} (g\circ f)(x)&=g(f(x))\\ &=g(|x^2-1|)\\ &=\frac{1}{|x^2-1|^2-9}\\ &=\frac{1}{\left(\sqrt{(x^2-1)^2}\right)^2-9}\\ &=\frac{1}{(x^2-1)^2-9}\\ &=\frac{1}{x^4-2x^2+1-9}\\ &=\frac{1}{x^4-2x^2-8} \end{align*} Adapun untuk mendapatkan domain $(g\circ f)(x)$, perlu diketahui terlebih dahulu domain dari fungsi $f$ dan $g$. Fungsi $f(x)$ sebagai fungsi mutlak dapat disederhanakan dengan definisi nilai mutlak. $$f(x)=|x^2-1|=\begin{cases} x^2-1,\quad x^2-1\geq0\implies \quad x\leq-1\cup x\geq1\quad\dots(i)\\ -(x^2-1),\quad x^2-1<0\implies\quad -1 < x < 1\quad \dots(ii) \end{cases}$$ Sebagai fungsi sepotong-sepotong, domain $f$ adalah gabungan dari $(i)$ dan $(ii)$, yaitu: $$\mathcal{D}(f)=\{x|x\in\R\}=(-\infty,+\infty).$$ Fungsi $g(x)$ akan terdefinisi ketika penyebutnya, yaitu $x^2-9$, tidak bernilai $0$. \begin{align*} x^2-9\neq 0\\ (x+3)(x-3)\neq0\\ x\neq-3\quad\text{atau}\quad x\neq3 \end{align*} Dengan demikian, domain dari $f$ dan $g$ adalah sebagai berikut. $$\mathcal{D}(f)=\{x|x\in\R\}=(-\infty,+\infty)$$ $$\mathcal{D}(g)=\{x|x < -3\cup-3<x<3\cup x>3,x\in\R\}=(-\infty,-3)\cup(-3,3)\cup(3,+\infty)$$ Adapun Domain dari $(g\circ f)(x)$ akan dicari dengan konsep di bawah ini. \begin{align*} \mathcal{D}(g\circ f)&=\{x\in \mathcal{D}(f)|f(x)\in\mathcal{D}(g)\}\\ &=\{x\in\R|f(x)\in(-\infty,+\infty)\backslash \{-3,3\}\}\\ &=\{|x^2-1|\in(-\infty,+\infty)\backslash \{-3,3\}\} \end{align*} Perhatikan bahwa hasil dari nilai mutlak pasti tak negatif sehingga $$\mathcal{D}(g\circ f)=\{|x^2-1|\in[0,+\infty)\backslash \{3\}\}$$ Adapun $|x^2-1|$ hanya akan bernilai $3$ ketika $x^2-1=3$. \begin{align*} |x^2-1|\neq3\\ x^2-1\neq3\\ x^2\neq4\\ x\neq-2\quad\text{atau}\quad x\neq2 \end{align*} Jadi, domain dari $(g\circ f)(x)$ adalah $$\mathcal{D}(g\circ f)=\{x|x<-2\cup-2<x<2\cup x>2,x\in\R\}=(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,+\infty).$$

ETS 2023/2024

Diketahui $\displaystyle f(x)=\frac{4}{x^2-1}$ dan $g(x)=\sqrt{x+4}$. Dapatkan $(g\circ f)$ beserta domainnya.

Jawab:

Lihat Solusi

Diberikan fungsi $ \displaystyle f(x)=\frac{4}{x^2-1}$ dan $g(x)=\sqrt{x+4}$. Pertama-tama, akan dicari fungsi $(g\circ f)(x)$. \begin{align*} (g\circ f)(x)&=g(f(x))\\ &=g\left(\frac{4}{x^2-1}\right)\\ &=\sqrt{\frac{4}{x^2-1}+4}\\ &=\sqrt{\frac{4+4(x^2-1)}{x^2-1}}\\ &=\sqrt{\frac{4+4x^2-4}{x^2-1}}\\ &=\sqrt{\frac{4x^2}{x^2-1}}\\ &=\frac{2x}{\sqrt{x^2-1}} \end{align*} Adapun untuk mendapatkan domain $(g\circ f)(x)$, perlu diketahui terlebih dahulu domain dari fungsi $f$ dan $g$. Fungsi $f(x)$ akan terdefinisi ketika penyebutnya, yaitu $x^2-1$, bernilai tak nol. \begin{align*} x^2-1\neq0\\ (x+1)(x-1)\neq 0\\ x\neq-1\quad\text{atau}\quad x\neq1 \end{align*} Fungsi $g(x)$ sebagai fungsi yang mengandung bentuk akar akan terdefinisi ketika ekspresi di dalam akar bernilai tak negatif. \begin{align*} x+4\geq0\\ x\geq-4 \end{align*} Dengan demikian, diperoleh domain dari $f$ dan $g$, yaitu: $$\mathcal{D}(f)=\{x|x<-1\cup-1<x<1\cup x>1,x\in\R\}=(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty)$$ $$\mathcal{D}(g)=\{x|x\geq-4,x\in\R\}=[-4,+\infty)$$ Domain dari fungsi $(g\circ f)(x)$ dicari dengan konsep berikut. \begin{align*} \mathcal{D}(g\circ f)&=\{x\in \mathcal{D}(f)|f(x)\in\mathcal{D}(g)\}\\ &=\left\{x\neq-1\cup x\neq1\Big|f(x)\geq-4,x\in\R\right\}\\ &=\left\{x\neq-1\cup x\neq1\Big|\frac{4}{x^2-1}\geq-4,x\in\R\right\}\\ &=\left\{x\neq-1\cup x\neq1\Big|\frac{4}{x^2-1}+4\geq0\right\}\\ &=\left\{x\neq-1\cup x\neq1\Big|\frac{4+4(x^2-1)}{x^2-1}\geq0\right\}\\ &=\left\{x\neq-1\cup x\neq1\Big|\frac{4+4x^2-4}{x^2-1}\geq0\right\}\\ &=\left\{x\neq-1\cup x\neq1\Big|\frac{4x^2}{x^2-1}\geq0\right\}\\ &=\left\{x\neq-1\cup x\neq1\Big|\frac{x^2}{(x+1)(x-1)}\geq0\right\} \end{align*} Dari $\displaystyle \frac{x^2}{(x+1)(x-1)}\geq0$, diperoleh $3$ titik pemisah, yaitu $x=0$, $x=-1$, dan $x=1$. Dengan uji titik pada garis bilangan, diketahui interval yang menghasilkan nilai $\displaystyle\frac{x^2}{(x+1)(x-1)}\geq0$ adalah $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$. Dengan demikian, domain dari fungsi $(g\circ f)(x)$ adalah \begin{align*} \mathcal{D}(g\circ f)&=\{x\neq-1\cup x\neq1|x<-1\cup x>1\}\\ &=\{x|x<-1\cup x>1,x\in\R\}\\ &=(-\infty,-1)\cup(1,+\infty). \end{align*}

2.2 Operasi pada Fungsi

2.2
Operasi pada Fungsi